向量
向量是一种高级语言，用向量语言可以书写新的高中数学体系。人生如向量，它与我们的人生有着很多相似之处。选择决定了人生的方向，努力决定了人生的长度。
笔者认为：小题中向量题目，无图计算，有图建系。建系法为主，基底法为辅，方可畅行无阻
1.向量的基底与向量共线定理¶
2.向量的极化恒等式¶
在△ABC中，若M是BC的中点，则\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AM}^2 - \frac{1}{4}\vec{BC}^2 = \vec{AM}^2 - \vec{BM}^2\).
极化恒等式是平面向量中应用最广泛的结论，其将向量的数量积全部转换到模长的运算，作用极大
3.平面向量与三角形的四心问题（奔驰定理）¶
重心定理：¶
已知\(△ABC的顶点A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃), 则△ABC的重心坐标为G(x,y)\).
注意：
(1) 在\(△ABC中，若O为重心\)，则\(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}\)。
(2) 三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分开的三个三角形面积相等。
重心的向量表示：\(\vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}\)
奔驰定理：¶
\(S_A\vec{OA} + S_B\vec{OB} + S_C\vec{OC} = \vec{0}\) ()，则\(△AOB，△AOC，△BOC\)的面积比等于是\(λ₃:λ₂:λ₁\).
垂心定理：¶
三角形三边上的高交于一点。点\(O是△ABC\)的垂心，则\(\vec{OA}\cdot\vec{OB} = \vec{OB}\cdot\vec{OC} = \vec{OC}\cdot\vec{OA}\)。
角平分线定理：¶
若\(\vec{OA} = a\vec{a}\)，\(\vec{OB} = b\vec{b}\)，则\(∠AOB\)平分线上上的向量\(\vec{OM}\)为\((\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|})\)，由\(\vec{OM}\)决定三个顶点的距离相等；
外心定理：¶
垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；
(1) \(\vec{AO}\cdot\vec{AB} = \frac{1}{2}|\vec{AB}|^2\)； \(\vec{AO}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}|\vec{AC}|^2\)； \(\vec{BO}\cdot\vec{BC} = \frac{1}{2}|\vec{BC}|^2\)；
(2) \(\vec{AO}\cdot\vec{AF} = \frac{1}{4}|\vec{AB}|^2 + \frac{1}{4}|\vec{AC}|^2\)； \(\vec{BO}\cdot\vec{BE} = \frac{1}{4}|\vec{AB}|^2 + \frac{1}{4}|\vec{BC}|^2\)； \(\vec{CO}\cdot\vec{CD} = \frac{1}{4}|\vec{BC}|^2 + \frac{1}{4}|\vec{AC}|^2\)；
(3) \(\vec{AO}\cdot\vec{BC} = \frac{1}{2}|\vec{AC}|^2 - \frac{1}{2}|\vec{AB}|^2\)； \(\vec{BO}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}|\vec{BC}|^2 - \frac{1}{2}|\vec{BA}|^2\)； \(\vec{CO}\cdot\vec{AB} = \frac{1}{2}|\vec{BC}|^2 - \frac{1}{2}|\vec{AC}|^2\)；
证明：¶
重心定理证明： \(\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AD} = \frac{2}{3}(\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})) = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}\)
奔驰定理证明： 令\(\vec{OA_1} = \vec{OA}\)，\(\vec{OB_1} = \vec{OB}\)，\(\vec{OC_1} = \vec{OC}\)，即确定\(\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \vec{0}\)
\(S_{AOB} = \frac{1}{\lambda_3\lambda_2}\)，\(S_{AOC} = \frac{1}{\lambda_3\lambda_1}\)，\(S_{BOC} = \frac{1}{\lambda_2\lambda_1}\)，故\(S_{AOB}:S_{AOC}:S_{BOC} = \lambda_3:\lambda_2:\lambda_1\)
垂心定理证明： \(\vec{OA}\cdot\vec{OB} = \vec{OB}\cdot\vec{OC} => \vec{OB}\cdot(\vec{OA}-\vec{OC}) = \vec{0} => \vec{OB}\perp\vec{CA} = 0\)，即OB⊥CA，以此类推。
角平分线定理证明： \(\frac{\vec{a}}{|a|}\)和\(\frac{\vec{b}}{|b|}\)分别为\(\vec{OA}\)和\(\vec{OB}\)方向上的单位向量，\((\frac{\vec{a}}{|a|} + \frac{\vec{b}}{|b|})\)是\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)一线段的向量，而此平行四边形为菱形，故\((\frac{\vec{a}}{|a|} + \frac{\vec{b}}{|b|})\)在∠AOB平分线上，但∠AOB平分线上向\(\vec{OM}\)终点的量由\(\vec{OM}\)决定，当λ=1时，四边形\(OAMB\)构成\(∠AOB=120°\)的菱形。
4.向量的等和线¶
5.向量对角线定理（斯坦纳定理）¶
此定理常用于空间向量中，其特点是省去了对空间关系的思考，仅用模长就可求出数量积。多应用于已知大多线段模长的定图形和折叠问题中
此处搭配例题以助理解
创建日期: 2025-12-27
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