函数
高中数学函数是重中之重，函数的基本性质也是必考一项（可易可难，可单独考可一起考）。学好指数，对数函数，幂函数，三角函数等是基础。
本节主要介绍函数的一些性质及三角函数（不包括导数）
1.函数基本性质¶
对称性¶
(1) 基本性质¶
对称性: 若 \(f(a+x) = \pm f(b-x)\)，则 \(f(x)\) 的图像具有对称性。
周期性: 若 \(f(x+a) = \pm f(x+b)\)，则 \(f(x)\) 具有周期性。
(2) 对称轴¶
若 \(f(a+x) = f(b-x)\)，则 \(f(x)\) 的图像关于直线 \(x = \frac{a+b}{2}\) 对称。
推论：
- \(f(a+x) = f(a-x) \iff\) 图像关于直线 \(x = a\) 对称。
- \(f(x) = f(2a-x) \iff\) 图像关于直线 \(x = a\) 对称。
- \(f(-x) = f(2a+x) \iff\) 图像关于直线 \(x = a\) 对称。
(3) 对称中心¶
若 \(f(a+x) + f(b-x) = 2c\)，则 \(f(x)\) 的图像关于点 \(\left( \frac{a+b}{2}, c \right)\) 对称。
推论：
- \(f(a+x) + f(a-x) = 2b \iff\) 图像关于点 \((a, b)\) 对称。
- \(f(x) + f(2a-x) = 2b \iff\) 图像关于点 \((a, b)\) 对称。
- \(f(-x) + f(2a+x) = 2b \iff\) 图像关于点 \((a, b)\) 对称。
(4) 两个函数的对称性¶
- 关于y轴对称: \(y = f(x)\) 与 \(y = f(-x)\)。
- 关于原点对称: \(y = f(x)\) 与 \(y = -f(-x)\)。
- 关于x轴对称: \(y = f(x)\) 与 \(y = -f(x)\)。
- 关于 \(y = x\) 对称: \(y = f(x)\) 与其反函数 \(y = f^{-1}(x)\)。
- 关于直线 \(x = \frac{b-a}{2}\) 对称: \(y = f(a+x)\) 与 \(y = f(b-x)\)。
推论：
- \(y = f(a+x)\) 与 \(y = f(a-x)\) 关于直线 \(x = 0\) 对称。
- \(y = f(x)\) 与 \(y = f(2a-x)\) 关于直线 \(x = a\) 对称。
- \(y = f(-x)\) 与 \(y = f(2a+x)\) 关于直线 \(x = -a\) 对称。
周期性¶
对定义在实数集上的函数 \(f(x)\)，若满足以下条件（\(a>0\)），则其周期为：
- 若 \(f(x+a) = -f(x)\)，则 \(T = 2a\)。
- 若 \(f(x+a) = \dfrac{1}{f(x)}\)，则 \(T = 2a\)。
- 若 \(f(x+a) = -\dfrac{1}{f(x)}\)，则 \(T = 2a\)。
- 若 \(f(x+2a) = f(x+a) - f(x)\)，则 \(T = a\)。
- 若 \(f(x+a) = \dfrac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)，则 \(T = 2a\)。
- 若 \(f(x+a) = \dfrac{1 + f(x)}{1 - f(x)}\)，则 \(T = 4a\)。
对称性与周期性的联系¶
(1) 两线对称型¶
若 \(f(x)\) 的图像既关于直线 \(x=a\) 对称，又关于直线 \(x=b\) 对称（\(a \neq b\)），则 \(f(x)\) 是周期函数，且 周期 \(T = 2|b - a|\)。
(2) 两点对称型¶
若 \(f(x)\) 的图像既关于点 \((a, 0)\) 对称，又关于点 \((b, 0)\) 对称（\(a \neq b\)），则 \(f(x)\) 是周期函数，且 周期 \(T = 2|b - a|\)。
(3) 线点对称型¶
若 \(f(x)\) 的图像既关于直线 \(x=a\) 对称，又关于点 \((b, 0)\) 对称（\(a \neq b\)），则 \(f(x)\) 是周期函数，且 周期 \(T = 4|b - a|\)。
(4) 符号语言¶
两线对称：若 \(f(a+x) = f(a-x)\) 且 \(f(b+x) = f(b-x)\)（\(a \neq b\)），则 \(T = 2|a - b|\)。
两点对称：若 \(f(a+x) + f(a-x) = 2c\) 且 \(f(b+x) + f(b-x) = 2c\)（\(a \neq b\)），则 \(T = 2|a - b|\)。
线点对称：若 \(f(x)\) 关于点 \((a, 0)\) 对称且关于直线 \(x=b\) 对称（\(a \neq b\)），则 \(T = 4|a - b|\)。
2.函数图像¶
胸有蓝图，一路坦荡
函数图象的识辨可从以下方面入手:
①从函数的定义域，判断图象的左右位置;从函数的值域，判断图象的上下位置;
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性
④从函数的周期性，判断图象的循环往复
⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象。
3.中值模型¶
若 \(f(x)\) 为奇函数，\(g(x) = f(x) + a\)（\(a\) 为常数），则 \(g(x) + g(-x) = 2a\)。
证明：
\(g(x) + g(-x) = [f(x) + a] + [f(-x) + a] = [f(x) + f(-x)] + 2a = 0 + 2a = 2a.\)
4.三角函数¶
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创建日期: 2025-12-27
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